La Tierra, el punto, la manzana y el elefante
Vamos a hacer un “experimento mental” muy sencillo. Piensa en la Tierra y en un punto $P$ a una cierta altura sobre su superficie. En el punto $P$ se nota el efecto de la Tierra.
Pero $P$ es un punto, nada más. Entonces, ¿cómo sabes que realmente la Tierra está “afectando” a ese punto? Muy fácil: colocando algo en ese punto. Por ejemplo, una manzana.
Si colocas una manzana en el punto $P$ y la sueltas se cae. ¿Por qué? La respuesta es obvia: la manzana se cae porque la Tierra tira de ella. ¿Pero cómo tira de ella? Para contestar a esta pregunta recurres a algo que te enseñaron años atrás: hay una fuerza, la fuerza gravitatoria, que actúa a distancia y que hace que los cuerpos caigan hacia la superficie de la Tierra. Hasta aquí todo correcto, ¿no? Pues si has entendido el experimento mental de la Tierra, el punto y la manzana entonces ya sabes qué es el campo gravitatorio.
¿Qué es el campo gravitatorio?
Un cuerpo de masa $M$, por el simple hecho de tener masa, modifica de alguna manera el espacio a su alrededor (en nuestro experimento mental, el cuerpo es la Tierra). En concreto, la presencia de la masa $M$ ha provocado un cambio en el punto $P$; dicho de otra manera, ciertas propiedades del punto son distintas respecto a cuando no estaba la masa. Estas nuevas características que adquiere el punto $P$ debido a la presencia de la masa $M$ constituyen lo que llamamos campo gravitatorio.
Lógicamente, el punto $P$ no es el único que se ve afectado por la masa $M$. El campo gravitatorio creado por la masa $M$ existirá en cualquier otro punto del espacio:
Podemos entonces expresar el concepto de campo gravitatorio de la siguiente manera: el campo gravitatorio es la perturbación que produce un cuerpo a su alrededor por el hecho de tener masa.
¿Cómo se mide el campo gravitatorio?
Ya tenemos más o menos claro qué es el campo gravitatorio. Pero en Física, además de describir y explicar las cosas, nos gusta medirlas. La pregunta que surge entonces es la siguiente: ¿cómo se mide el campo gravitatorio?
Para poder medir el campo gravitatorio, es decir, para poder determinar si la perturbación que produce una masa en un punto es grande o pequeña, necesitamos “sentir” esa perturbación. Recordando nuestro experimento mental, habíamos colocado una manzana en el punto donde queríamos “ver” cómo la Tierra afectaba al punto. Pues venga, coloquemos un cuerpo de masa $m$, que llamamos masa “de prueba” (la manzana), en el punto $P$.
La masa $m$ que colocamos en el punto $P$ se ve afectada por el campo gravitatorio de $M$, ¿verdad? Pero, ¿en qué consiste el efecto del campo gravitatorio sobre $m?$ Según concluimos en el experimento mental de la Tierra, el punto y la manzana, la masa $m$ (la manzana) se ve atraída hacia la masa $M$ (la Tierra) por la fuerza gravitatoria $\vec{F}_{g}$ que $M$ ejerce sobre $m$:
Es decir, el campo gravitatorio en un punto se manifiesta como una fuerza gravitatoria en el momento en que colocamos una masa en dicho punto. Por tanto, si sabemos cuánto vale la fuerza gravitatoria sobre $m$ (y lo sabemos, por la ley de gravitación universal) podemos tener una idea de lo intenso que es el efecto de $M$ en el punto $P$… aunque hay una pega muy grande. Si en vez de colocar una manzana en $P$ hubiésemos colocado un elefante, la fuerza gravitatoria habría sido diferente (recuerda que es directamente proporcional a la masa $m$). Y eso es un fastidio, porque lo que queremos cuantificar es el efecto de $M$ en $P$, que es únicamente un punto donde no hay ni manzanas ni elefantes. ¿Cómo lo solucionamos?
La solución: la intensidad del campo gravitatorio
Recopilemos los hechos que conocemos hasta ahora:
- Nuestro objetivo es medir el campo gravitatorio creado por una masa $M$ en un punto $P$.
- La única manera de “ver” cómo la masa $M$ afecta al punto $P$ es colocando una masa $m$ en $P$.
- Cuando colocamos la masa $m$ en $P$, esta se ve afectada por la fuerza de atracción gravitatoria que $M$ ejerce sobre ella.
- Podemos medir la fuerza gravitatoria de $M$ sobre $m$ utilizando la ley de gravitación universal.
- La fuerza gravitatoria sobre $m$ depende del valor de la masa $m$.
- El campo gravitatorio no puede depender de la masa $m$ que coloquemos en $P$.
¿Qué podemos hacer entonces si para medir la magnitud del campo gravitatorio tenemos que colocar una masa en $P$ pero el resultado no puede depender de la masa que coloquemos? Fácil: colocamos la masa, medimos y la “quitamos” del resultado. ¿Cómo? Hallando la fuerza gravitatoria por unidad de masa. Veámoslo paso a paso.
Lo primero que hacemos es colocar en $P$ una masa de prueba $m$ y calcular la fuerza gravitatoria $\vec{F}_{g}$ con que $M$ atrae a $m$.
A continuación dividimos esa fuerza gravitatoria entre el valor de m:
$$\frac{\vec{F}_{g}}{m}$$
Este cociente nos da la fuerza que se ejerce sobre la unidad de masa situada en $P$, que no depende de la masa de prueba que habíamos colocado. Es decir, si llamamos $\vec{g}$ a dicho cociente, $\vec{g}$ mide precisamente lo intenso que es el campo gravitatorio creado por la masa $M$ en el punto $P$. En consecuencia, a este valor se le llama intensidad de campo gravitatorio en $P$:
$$\vec{g} =\frac{\vec{F}_{g}}{m}$$
¡Y listo! Esta es la manera de cuantificar el campo gravitatorio creado por una masa en un punto del espacio.
¿Y las unidades?
Falta un pequeño pero importante detalle: las unidades. En este caso son bastante obvias: si la fuerza se mide en newtons y la masa en kilogramos, la intensidad de campo gravitatorio se medirá en newton por kilogramo (N/kg). Pero espera... El newton es una unidad derivada. Recordando lo que sabemos de dinámica, un newton equivale a un kg·m/s2. Entonces N/kg es lo mismo que m/s2, lo que, recordando lo que sabemos de cinemática, es una unidad de aceleración. O sea, que la intensidad de campo gravitatorio tiene unidades de aceleración. ¿Sorprendente? No tanto, si te fijas en que hemos usado precisamente la letra $\vec{g}$ para referirnos a ella.
Descripción de $\vec{g}$
Acabamos de ver cómo se define la intensidad del campo gravitatorio que crea una masa $M$ en un punto $P$. Pero, a efectos prácticos, ¿cómo es el valor de esta magnitud?
Recordemos que la intensidad de campo gravitatorio en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa situada en dicho punto:
$$\vec{g} =\frac{\vec{F}_{g}}{m}$$
Esta expresión nos permite sacar una conclusión inmediata: $\vec{g}$ es una magnitud vectorial. Y, como tal, para definirla necesitamos abordar los siguientes aspectos: punto de aplicación, módulo, dirección y sentido.
Punto de aplicación
Como $\vec{g}$ se define a partir de la fuerza gravitatoria sobre la masa de prueba $m$, que hemos situado en el punto $P$, consideraremos que el origen del vector $\vec{g}$ es ese punto. Recuérdalo. El punto de aplicación del vector intensidad de campo gravitatorio es el punto $P$.
Módulo
Para obtener el valor del módulo de $\vec{g}$ necesitamos primero calcular la fuerza gravitatoria. Para ello debemos recurrir a la ley de gravitación universal: dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; a la constante de proporcionalidad la llamábamos $G$. Entonces, en módulo, esta fuerza la podemos expresar como:
$$F_{g} =G\cdotp \frac{\ m_{1} \cdotp m_{2}}{r^{2}}$$
($m_{1}$ y $m_{2}$ son las masas que se atraen, $G$ es la constante de gravitación universal y $r$ es la distancia entre ambas masas o, mejor dicho, la distancia entre los centros de ambas masas).
Apliquemos esta expresión a nuestro problema. Tenemos una masa $M$ (la masa que crea el campo) y un punto $P$ (el punto donde queremos calcular el campo gravitatorio) situado a una distancia $r$ de ella. En dicho punto colocamos la masa de prueba $m$.
Como $g$ se obtiene dividiendo esta fuerza entre el valor de la masa de prueba $m$ situada en $P$, obtenemos la siguiente expresión:
$$g=\frac{F_{g}}{m} =\frac{G\cdotp \frac{\ M\cdotp m}{r^{2}}}{m}$$
Es decir, el módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por las masa $M$ en un punto situado a una distancia $r$ de su centro es:
$$g=G\cdotp \frac{M}{r^{2}}$$
Dirección
Volvamos a la definición de $\vec{g}$:
$$\vec{g} =\frac{\vec{F}_{g}}{m}$$
Estamos dividiendo un vector, $\vec{F}_{g}$, entre un escalar, $m$. Y, como sabes, el resultado de esta operación no cambia la dirección del vector. Por tanto, la dirección del campo gravitatorio es la misma que la dirección de la fuerza gravitatoria. Por tanto debemos recordar de nuevo la ley de gravitación universal, que nos dice que la fuerza gravitatoria tiene la dirección de la recta que une ambas masas. Conclusión: la dirección del vector $\vec{g}$ es la de la recta que une la masa que crea el campo y el punto $P$ (que es donde estaría la masa $m$).
Sentido
El sentido del vector intensidad de campo gravitatorio también lo vamos a deducir de la ley de gravitación universal. Esta ley nos dice que la fuerza entre dos masa es siempre atractiva (por eso se le llama fuerza de atracción gravitatoria). Entonces, como $\vec{g} =\vec{F}_{g} /m$, y recordando de nuevo las operaciones con vectores, el sentido del vector $\vec{g}$ será el mismo que el del vector $\vec{F}_{g}$. ¿Sí? Bueno, en este caso sí, porque la masa tiene un valor positivo (ojo: si se multiplica un vector por un escalar negativo el sentido del vector cambia; recuerda esta observación cuando trabajemos con el campo eléctrico, donde las cargas pueden ser positivas o negativas). En conclusión, el sentido de $\vec{g}$ va siempre desde el punto hacia la masa que crea el campo.
En resumen
Vamos a ponerlo todo junto. Tenemos una masa $M$ que crea un campo gravitatorio a su alrededor. Hay un punto $P$ que está situado a una distancia $r$ del centro de la masa. La intensidad del campo gravitatorio creado por $M$ en $P$, $\vec{g}$, es un vector que tiene las siguientes características:
- Punto de aplicación: el punto $P$.
- Módulo: $\displaystyle G \cdot \frac{M}{r^2}$
- Dirección: la de la recta que une el punto y la masa.
- Sentido: del punto a la masa.
Un apunte sobre la masa $M$: se puede demostrar que si el cuerpo tiene simetría esférica el efecto de dicha masa es exactamente el mismo que si se tratase de una masa puntual situada en el centro de la esfera. Es decir, el cuerpo se comporta como si toda su masa estuviese concentrada en el centro. Este hecho, que facilita enormemente los cálculos y permite, por ejemplo, tratar los cuerpos del sistema solar como si fuesen masas puntuales, fue demostrado por el propio Newton en su famosísimo libro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, donde también enunció la ley de gravitación universal.
Análisis de $\vec{g}$
Antes de seguir adelante fíjate de nuevo en el módulo de la intensidad de campo gravitatorio creado por $M$ en un punto $P$ situado a una distancia $r$:
$$g=G\cdotp \frac{M}{r^{2}}$$
Vamos a sacar unas cuantas conclusiones a partir de esta expresión:
- El valor de la masa de prueba no interviene, como queríamos.
- Como cabría esperar, cuanto mayor sea la masa $M$ más intenso será el campo gravitatorio que crea dicha masa. Es decir, un cuerpo más pesado produce un efecto gravitatorio mayor que uno más ligero. Lógico, ¿no?
- Cuanto más alejado tomemos el punto $P$, es decir, cuanto mayor sea $r$, menos intenso será el campo. Lógico también: el efecto de la masa disminuye según nos alejemos de ella.
- Algo que llama la atención es que el campo gravitatorio solo se anulará cuando $r$ sea infinito. Dicho de otra manera: en teoría, el campo gravitatorio tiene alcance infinito. En la práctica, sin embargo, si nos alejamos lo suficiente de la masa el campo será tan débil que apenas se notará su efecto.
- Por último, te propongo que hagas unos cuantos números: calcula cuánto vale la intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto cercano a la superficie de la Tierra (cuando hablamos de “cercano” a la superficie nos referimos a un punto que está a una altura $h$ muy pequeña en comparación con el radio terrestre $R_{T}$; es decir, $h<<R_{T}$ y por tanto $R_{T} +h\approx R_{T}$). Busca los datos que necesites y calcula el valor de $g$ (spoiler: si el resultado no te da 9,8 N/kg o, lo que es lo mismo, 9,8 m/s2, repasa las cuentas).
Dos, tres, cuatro masas
Hasta ahora hemos analizado cómo se ve afectado un punto del espacio por la presencia de una masa. Pero, ¿qué sucedería en ese punto si, en vez de una, hay dos, tres o cuatro masas (o las que sean)?
Muy fácil. Como tantas veces en Física, recurrimos a los principios de independencia y superposición:
- Hallamos el campo gravitatorio en $P$ debido a cada masa, independientemente de la presencia de las otras masas.
- Sumamos los campos gravitatorios debidos a todas las masas.
Así de simple. Eso sí, recuerda que la intensidad de campo gravitatorio es una magnitud vectorial, por tanto cuando hablamos de “sumar” estamos hablamos de una suma vectorial.
Campo gravitatorio y fuerza gravitatoria
Un último apunte sobre el campo gravitatorio. Según hemos visto, al colocar una masa en un punto del espacio en el que hay campo gravitatorio esa masa automáticamente se ve afectada por la fuerza gravitatoria. Es decir, el campo gravitatorio permite explicar la acción a distancia de la fuerza gravitatoria. ¿Y cómo se relaciona la intensidad del campo gravitatorio en un punto con la fuerza gravitatoria que siente una masa colocada en ese punto? Para contestar esta pregunta recurrimos de nuevo a la definición de campo gravitatorio:
$$\vec{g} =\frac{\vec{F}_{g}}{m}$$
Por tanto, la fuerza gravitatoria $\vec{F}_{g}$ que siente un cuerpo de masa $m$ situada en un punto donde hay una intensidad de campo gravitatorio $\vec{g}$ es:
$$\vec{F}_{g} =m\cdotp \vec{g}$$
Son dos visiones distintas del mismo fenómeno: en el punto $P$ la intensidad del campo gravitatorio es $\vec{g}$; la masa $m$ situada en $P$ se ve sometida a una fuerza gravitatoria $\vec{F}_{g}$.
Por otro lado, ¿recuerdas cómo llamamos a la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre los cuerpos situados en su superficie? Exactamente: peso. Utilizando lo que has visto hasta ahora puedes justificar fácilmente por qué el peso de un cuerpo lo calculábamos multiplicando su masa por la aceleración de la gravedad, $g$,
$$P=m\cdot g$$
y por qué el valor de $g$ en la superficie terrestre es 9,8 m/s2.
Ideas clave
Para finalizar recogemos, a modo de resumen, las principales ideas sobre el tema:
- El campo gravitatorio permite explicar la acción a distancia de la fuerza gravitatoria.
- La intensidad de campo gravitatorio es una característica de un punto del espacio; la fuerza gravitatoria aparece cuando colocamos una masa en dicho punto.
- La intensidad de campo gravitatorio en un punto se define como la fuerza por unidad de masa colocada en dicho punto: $\vec{g} =\vec{F}_{g} /m$.
- Las unidades de $\vec{g}$ en el SI son N/kg o m/s2.
- La intensidad de campo gravitatorio debido a una masa $M$ en un punto situado a una distancia $r$ es un vector que tiene las siguientes características: el origen se sitúa en el punto; el módulo es $\displaystyle g=G\cdotp \frac{M}{r^{2}}$ ($G$: constante de gravitación universal); la dirección es la de la recta que une el punto y la masa; el sentido es hacia la masa que crea el campo.
- El campo será más intenso cuanto mayor sea la masa que lo crea.
- El campo será más intenso cuanto menor sea la distancia a la masa.
- El campo gravitatorio tiene alcance infinito.
- La fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo de masa $m$ situada en un punto donde hay una intensidad de campo gravitatorio $\vec{g}$ es: $\vec{F}_{g} =m\cdotp \vec{g}$.
