Cinemática: glosario ilustrado
La cinemática es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos. Esta disciplina describe cómo se mueven las cosas, es decir, analiza cómo cambia su posición con respecto al tiempo, pero no se preocupa de por qué empiezan a moverse o cuáles son las causas que hacen que se muevan de una manera o de otra. La cinemática da respuesta a preguntas como “¿Dónde está ahora el objeto?”, “¿Dónde estará dentro de 30 segundos?”, “¿Va en línea recta o está girando?”, “¿Lleva siempre la misma velocidad o su velocidad cambia?”, “¿Cuánto tardará en pararse?”, etc.
En este artículo hemos reunido, a modo de glosario, los términos más importantes de este tema. Para una explicación más detallada de cada concepto puedes consultar el enlace Movimiento, donde también encontrarás ejemplos y numerosos ejercicios resueltos sobre el tema.
Masa puntual
El cuerpo cuyo movimiento vamos a estudiar es una masa puntual, es decir, consideramos que se comporta como una partícula que no tiene tamaño y que, por tanto, ocupa en cada instante un único punto del espacio.
Sistema de referencia
Un sistema de referencia consiste en un punto y unos ejes de coordenadas que utilizamos para estudiar el movimiento.
Normalmente usamos como sistema de referencia los ejes cartesianos. Cada punto del espacio queda así perfectamente definido mediante su distancia al origen de coordenadas O(0,0,0) en cada una de las direcciones definidas por los ejes ortogonales OX, OY y OZ.
Posición
La posición de una partícula en un instante es el punto del espacio en el que se encuentra la partícula en dicho instante.
coordenadas (x,y,z) del punto en el que se localiza.
Movimiento
Una partícula se mueve si, al pasar el tiempo, su posición cambia con respecto a un sistema de referencia que suponemos fijo.
Instante inicial, $t_0$
El instante inicial es el momento en que se empieza a estudiar el movimiento. Normalmente tomamos como instante inicial el instante $t_0=0 \; s$.
Ecuaciones paramétricas del movimiento
Las ecuaciones paramétricas del movimiento:
$$
\left.\begin{array}{l}
x=x(t)\\
y=y(t)\\
z=z(t)
\end{array}\right\}
$$
nos dan las coordenadas de la posición $(x,y,z)$ que ocupa la partícula en el espacio en cualquier instante $t$.
Trayectoria
La trayectoria es la curva determinada por todos los puntos que ocupa la partícula a lo largo del tiempo en su movimiento.
Vector de posición, $\vec r(t)$
El vector de posición de una partícula en el instante $t$ es el vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es el punto $(x,y,z)$ donde está situada la partícula en dicho instante.
El vector de posición de una partícula en función del tiempo es:
$$\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k$$
donde las coordenadas $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ vienen dadas por las ecuaciones paramétricas del movimiento.
Desplazamiento, $\Delta \vec r$
El desplazamiento de una partícula entre dos instantes es el vector que va desde la posición de la partícula en el instante inicial hasta su posición en el instante final.
Si la posición inicial está determinada por el vector de posición $\vec r_1$ y la posición final está determinada por el vector de posición $\vec r_2$ , entonces el vector desplazamiento es:
$$\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1$$
Espacio, s
El espacio recorrido por la partícula entre dos instantes es la distancia que recorre la partícula entre esos dos instantes medida sobre la trayectoria.
El espacio es la distancia medida sobre la trayectoria, mientras que el desplazamiento
se mide en línea recta desde la posición inicial hasta la posición final.
Celeridad o rapidez, c
La celeridad o rapidez media se obtiene dividiendo el espacio recorrido por la partícula (medido sobre la trayectoria) entre el tiempo empleado en recorrerlo.
$$c=\frac{s}{t}$$
Velocidad media, $\vec v_m$
La velocidad media entre los instantes $t_1$ y $t_2$ se calcula dividiendo el desplazamiento realizado por la partícula en esos instantes entre el tiempo empleado en dicho desplazamiento:
$$\vec v_m=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{t_2-t_1}$$
Velocidad instantánea, $\vec v(t)$
La velocidad instantánea en el instante t es el límite de la velocidad media de la partícula entre los instantes $t$ y $t+\Delta t$ cuando $\Delta t$ tiende a cero:
$$\vec v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \vec v_m=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}$$
Si $\Delta t → 0$ esta velocidad media es la velocidad instantánea en el instante $t$.
La velocidad instantánea se calcula derivando el vector de posición con respecto al tiempo:
$$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec i + \frac{dy}{dt}\vec j + \frac{dz}{dt}\vec k=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k$$
El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto y está orientado en el sentido del movimiento de la partícula.
se mueve cada vez más rápido siguiendo la trayectoria del dibujo.
Vector unitario tangente a la trayectoria, $\vec u_t$
El vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto se obtiene dividiendo el vector velocidad entre su módulo:
$$\vec u_t=\frac {\vec v}{|\vec v|}$$
El vector $\vec u_t$ tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad instantánea. Por tanto es tangente a la trayectoria en cada punto y está orientado en el sentido del movimiento de la partícula.
El vector velocidad $\vec v$ se puede escribir como el producto de su módulo, $|\vec v|$, por un vector unitario de su misma dirección y sentido, $\vec u_t$:
$$\vec v=|\vec v| \cdot \vec u_t$$
Aceleración media, $\vec a_m$
La aceleración media entre dos instantes $t_1$ y $t_2$ se calcula dividiendo la variación de la velocidad de la partícula en ambos instantes entre el tiempo empleado en dicha variación:
$$\vec a_m= \frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}$$
Aceleración instantánea, $\vec a(t)$
La aceleración instantánea en el instante $t$ es el límite de la aceleración media de la partícula entre los instantes $t$ y $t+\Delta t$ cuando $\Delta t$ tiende a cero:
$$\vec a(t)= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \vec a_m= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\vec v(t+\Delta t)-\vec v(t)}{\Delta t}$$
La aceleración instantánea se calcula derivando el vector velocidad con respecto al tiempo:
$$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\vec i + \frac{dv_y}{dt}\vec j + \frac{dv_z}{dt}\vec k=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$$
Componentes intrínsecas de la aceleración, $\vec a_t$ y $\vec a_n$
Los vectores aceleración tangencial $\vec a_t$ y aceleración normal $\vec a_n$ son las componentes intrínsecas de la aceleración.
La aceleración se puede expresar como la suma de sus componentes intrínsecas:
$$\vec a=\vec a_t+\vec a_n$$
Las componentes intrínsecas de la aceleración son perpendiculares entre sí.
Los módulos de $\vec a$, $\vec a_t$ y $\vec a_n$ verifican:
$$a^2=a_t^2+a_n^2$$
Si la aceleración $\vec a$ de la partícula es cero, entonces necesariamente tanto la componente tangencial como la normal son cero:
$$\vec a=\vec 0 \Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
\vec a_t=\vec 0\\
\vec a_n=\vec 0
\end{matrix}\right.$$
Aceleración tangencial, $\vec a_t$
La aceleración tangencial indica cómo varía la velocidad en módulo.
Su valor en cada punto es el producto de la derivada del módulo de la velocidad por el vector $\vec u_t$ en dicho punto: $\vec a_t= \frac {d|\vec v|}{dt}\vec u_t$.
La aceleración tangencial es tangente a la trayectoria en cada punto. Su sentido es el mismo que $\vec v$ si la velocidad aumenta, y opuesto a $\vec v$ si la velocidad disminuye.
aumenta su velocidad; si tiene sentido contrario (derecha), la partícula disminuye su velocidad.
Clasificación del movimiento según su aceleración tangencial
- Si $\vec a_t= \vec 0$ el movimiento es uniforme.
- Si $\vec a_t \neq \vec 0$ el movimiento es acelerado. Si, además, $\vec a_t=cte$ entonces el movimiento es uniformemente acelerado.
Aceleración normal o centrípeta, $\vec a_n$
La aceleración normal o centrípeta indica cómo varía la dirección de la velocidad.
Se calcula restando el vector aceleración (total) menos el vector aceleración tangencial en cada punto:
$$\vec a_n=\vec a - \vec a_t$$
El módulo de la aceleración normal en cada punto es $a_n=\frac {v^2}{R}$, donde $v$ es el módulo de la velocidad de la partícula en el punto considerado y $R$ es el radio de curvatura de la trayectoria en dicho punto.
Su dirección es perpendicular a la velocidad. Está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria en cada punto.
Clasificación del movimiento según su aceleración normal
- Si $\vec a_n= \vec 0$ el movimiento es rectilíneo.
- Si $\vec a_n \neq \vec 0$ el movimiento es curvilíneo. Si, además, el radio de curvatura es constante entonces el movimiento es circular.
