![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/punto.svg\")
\nUn problema clásico en Bachillerato es el siguiente: dadas las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de una partícula, ¿cómo es su movimiento? Para contestar a esta pregunta recurres a tus conocimientos de cinemática, coges lápiz y papel (y calculadora) y, sin más que hacer unas cuantas operaciones, obtienes la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante.
\nEn este artículo queremos mostrarte una manera alternativa de resolver el problema: escribiremos un programa que haga todos los cálculos necesarios para obtener la solución. Con este planteamiento solo te tendrás que preocupar de la lógica del problema y el ordenador hará las cuentas por ti. Este enfoque, aparte de evitarte el trabajo tedioso de realizar las operaciones, te va a permitir entrar en contacto con una herramienta fundamental en el trabajo científico: la programación científica.
\nEl lenguaje de programación que utilizaremos es SageMath; si no lo conoces, en la entrada SageMath: una navaja suiza en clase de Física de este blog tienes una breve introducción.
\nLas ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula, en unidades del SI, son:
\n$$\\left.\\begin{array}{l} x = 2t^2 - 2t\\\\ y = t^3 - 3\\\\ z = t^2 + 2t \\end{array}\\right\\}$$
\nHalla, en el instante t=1 s, el vector de posición, la velocidad, la aceleración y las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula y el radio de curvatura de la trayectoria.
\nSeguro que has resuelto, con lápiz y papel, más de un problema de este estilo (si te hace falta refrescar los conceptos de cinemática tienes un resumen en Cinemática: glosario ilustrado). Veamos cómo lo podemos resolver utilizando SageMath.
\nLos lenguajes de programación son muy estrictos en cuestiones de sintaxis, así que, antes de empezar es conveniente que leas el artículo Unas pocas reglas en el que se muestran ejemplos de las principales reglas que debes seguir cuando escribas un programa en Sage.
\nPara que te empieces a familiarizar con el lenguaje de programación que vamos a utilizar, en esta celda Sage tienes un programa que resuelve el problema planteado. Lee el código y ejecuta el programa (para ello pulsa el botón “Evaluar”) para intentar entender cómo funciona. Habrá muchos detalles que al principio no comprendas; pásalos por alto. Lo importante es que logres identificar las instrucciones en las que se realizan cálculos relevantes. Piensa también qué sucedería si cambias algún dato o instrucción; modifica el programa, ejecútalo y observa cómo cambia el resultado. ¿Funcionan las cosas como esperabas? Es muy interesante que pruebes con datos “especiales” o datos que creas que pueden dar resultados “raros”.
\nvar('t')\n\n# -------- DATOS ------\n\n# Ecuaciones paramétricas del movimiento (m)\nx = 2*t^2 - 2*t\ny = t^3 - 3\nz = t^2 + 2*t\n\n# Instante ti para el cálculo de magnitudes instantáneas (s)\nti = 1\n\n# Instantes tmin y tmax para la representación de la trayectoria (s)\ntmin = 0\ntmax = 2\n\n\n# -------- MAGNITUDES CINEMÁTICAS ---------\n\n# Vector de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo\nr = vector([x, y, z])\nv = derivative(r, t)\na = derivative(r, t, 2)\n\n# Módulo del vector velocidad\nvmod = norm(v)\n\n# Derivada del módulo de la velocidad\ndv_dt = derivative(vmod, t)\n\n# Vector unitario en la dirección de la velocidad\nut = v/vmod\n\n# Aceleración tangencial\nat = dv_dt*ut\n\n# Aceleración normal\nan = a - at\n\n# Radio de curvatura\nR = vmod^2/norm(an)\n\n\n# -------- REPRESENTACIÓN GRÁFICA ---------\n\n# Posición en el instante ti\nPi = point((x(t=ti),y(t=ti),z(t=ti)))\n\n# Vector de posición en el instante ti\nri = plot(r(t=ti))\n\n# Trayectoria entre los instantes tmin y tmax\ntrayectoria = parametric_plot((x,y,z), (t, tmin, tmax), color='darkred')\n\n\n# -------- SALIDA POR PANTALLA ---------\nshow(\"Vector de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo:\")\nshow(\"r(t)=\", r, \" m\")\nshow(\"v(t)=\", v, \" m/s\")\nshow(\"a(t)=\", a, \" m/s2\")\nshow(\"-------------------\")\n\nshow(\"Vector de posición, velocidad y aceleración en t=\", ti, \" s:\")\nshow(\"r=\", r(t=ti), \" m\")\nshow(\"v=\", v(t=ti), \" m/s\")\nshow(\"a=\", a(t=ti), \" m/s^2\")\nshow(\"-------------------\")\n\nshow(\"Componentes intrínsecas de la aceleración en t=\", ti, \" s:\")\nshow(\"at=\", at(t=ti), \" m/s^2\")\nshow(\"an=\", an(t=ti), \" m/s^2\")\nshow(\"-------------------\")\n\nshow(\"Radio de curvatura en t=\", ti, \" s:\")\nshow(\"R=\", n(R(t=ti)), \" m\")\n\nshow(trayectoria + Pi + ri, axes=True, decimals=0, projection='orthographic')\n\n
Para que puedas entender mejor el programa, recogemos aquí los nombres de las variables que hemos utilizado y el significado que les hemos otorgado. Los nombres de las variables son arbitrarios, así que si lo deseas puedes cambiarlos.
\n| Variable | \nSignificado | \n
t | \nTiempo | \n
x, y, z | \nCoordenadas de la posición del móvil en función del tiempo | \n
ti | \nInstante en el que se calculan las magnitudes cinemáticas | \n
tmin, tmax | \nIntervalo de tiempo para la representación de la trayectoria | \n
r | \nVector de posición de la partícula en función del tiempo | \n
v | \nVector velocidad en función del tiempo | \n
a | \nVector aceleración en función del tiempo | \n
an | \nVector aceleración normal en función del tiempo | \n
at | \nVector aceleración tangencial en función del tiempo | \n
vmod | \nMódulo del vector velocidad en función del tiempo | \n
dv_dt | \nDerivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo | \n
ut | \nVector unitario en la dirección de la velocidad en función del tiempo | \n
R | \nRadio de curvatura en función del tiempo | \n
trayectoria | \nRepresentación gráfica de la trayectoria entre tmin y tmax | \n
Pi | \nRepresentación gráfica del punto en que se encuentra la partícula en el instante ti | \n
ri | \nRepresentación gráfica del vector de posición de la partícula en el instante ti | \n
Todos los lenguajes de programación proporcionan una serie de funciones predefinidas que realizan distintas tareas. Dado que SageMath es un lenguaje especializado en matemáticas, ofrece una grandísima variedad de funciones matemáticas que aprovecharemos para resolver nuestro problema. A continuación reunimos todas las funciones que hemos usado en el programa con su significado, los argumentos que necesita y un ejemplo de su uso. Aquí debemos ser muy estrictos, ya que cualquier cambio en el nombre, los paréntesis o corchetes, los argumentos, etc. va a provocar un error en la ejecución del programa.
\nvar() | \n\n |
| Descripción | \nCrea una variable. | \n
| Argumentos | \nNombre de la variable que se crea. | \n
| Ejemplo | \n\nvar('t')\n | \n
vector() | \n\n |
| Descripción | \nConstruye un vector. | \n
| Argumentos | \nCoordenadas del vector. | \n
| Ejemplo | \n\nvector([1,-2,-1])\n | \n
derivative() | \n\n |
| Descripción | \nCalcula la función derivada. | \n
| Argumentos | \nPrimer argumento: función que se deriva. Segundo argumento: variable con respecto a la que se calcula la derivada. Tercer argumento (opcional): orden de la derivada. | \n
| Ejemplo | \n\nf = 2*x^3 - x^2 + 5*x - 2\n | \n
norm() | \n\n |
| Descripción | \nHalla el módulo de un vector. | \n
| Argumentos | \nVector cuyo módulo se calcula. | \n
| Ejemplo | \n\nv = vector([1,-2,-1])\n | \n
n() | \n\n |
| Descripción | \nAproximación numérica. | \n
| Argumentos | \nExpresión cuyo valor se quiere presentar como un número real. | \n
| Ejemplo | \n\nn(2/3)\n | \n
point() | \n\n |
| Descripción | \nRepresentación gráfica de un punto. | \n
| Argumentos | \nPrimer argumento: coordenadas del punto (en dos o tres dimensiones). Otros argumentos (opcionales): tamaño, color... | \n
| Ejemplo | \n\npoint((0,0), size=30)\n | \n
plot() | \n\n |
| Descripción | \nMuestra un objeto gráfico (curva, vector, punto, etc.). | \n
| Argumentos | \nPrimer argumento: objeto que se quiere representar. Otros argumentos (opcionales): color, grosor de la línea... | \n
| Ejemplo | \n\nv = vector([1,-2,-1])\n | \n
parametric_plot() | \n\n |
| Descripción | \nCrea la gráfica de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas. | \n
| Argumentos | \nPrimer argumento: ecuaciones paramétricas. Segundo argumento: la variable y sus valores mínimo y máximo para la representación gráfica. Otros argumentos (opcionales): color, grosor de la línea... | \n
| Ejemplo | \n\nvar('t')\n | \n
show() | \n\n |
| Descripción | \nMuestra texto u objetos gráficos. | \n
| Argumentos | \nPrimer argumento: texto u objeto gráfico que se quiere mostrar. Otros argumentos (opcionales): tamaño, ejes... | \n
| Ejemplo | \n\nA = point((0,0))\n | \n
El programa del ejemplo resuelve un problema concreto; ahora te toca a ti probar con otros similares. En algunas ocasiones llegará con que realices pequeños cambios en el código del ejemplo, pero en otras deberás hacer modificaciones más profundas para adaptar el ejemplo al problema concreto que estés resolviendo. Además, ¿se te ocurre alguna funcionalidad que puedas añadir al programa?
\nPor otro lado, el programa ha sido escrito primando la sencillez y claridad sobre una codificación eficiente, por lo que tampoco se ha hecho ninguna comprobación de los posibles errores que pueden surgir en la ejecución. ¿Has probado, por ejemplo, el caso de que la trayectoria sea una recta? Se obtiene un error muy obvio, que deberíamos haber controlado. ¿Serías capaz de mejorar el programa? Si has llegado a este punto, en algún momento necesitarás recurrir a http://www.sagemath.org/ para obtener más información sobre lo que se puede hacer con Sage.
\n", "image": "https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/8/trayectoria4x3.png", "author": { "name": "Beatriz Padín" }, "tags": [ "SageMath", "Programación", "Movimiento", "Herramientas matemáticas", "Bachillerato" ], "date_published": "2020-12-06T19:10:22+01:00", "date_modified": "2021-11-19T18:17:16+01:00" }, { "id": "https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/la-tierra-el-punto-la-manzana-y-el-elefante.html", "url": "https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/la-tierra-el-punto-la-manzana-y-el-elefante.html", "title": "La Tierra, el punto, la manzana y el elefante", "summary": "Vamos a hacer un “experimento mental” muy sencillo. Piensa en la Tierra y en un punto $P$ a una cierta altura sobre su superficie. En el punto $P$ se nota el efecto de la Tierra. Pero $P$ es un punto, nada más. Entonces, ¿cómo sabes que realmente la Tierra está…", "content_html": "
Vamos a hacer un “experimento mental” muy sencillo. Piensa en la Tierra y en un punto $P$ a una cierta altura sobre su superficie. En el punto $P$ se nota el efecto de la Tierra.
\n\nPero $P$ es un punto, nada más. Entonces, ¿cómo sabes que realmente la Tierra está “afectando” a ese punto? Muy fácil: colocando algo en ese punto. Por ejemplo, una manzana.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/manzana-2.svg\")
\nSi colocas una manzana en el punto $P$ y la sueltas se cae. ¿Por qué? La respuesta es obvia: la manzana se cae porque la Tierra tira de ella. ¿Pero cómo tira de ella? Para contestar a esta pregunta recurres a algo que te enseñaron años atrás: hay una fuerza, la fuerza gravitatoria, que actúa a distancia y que hace que los cuerpos caigan hacia la superficie de la Tierra. Hasta aquí todo correcto, ¿no? Pues si has entendido el experimento mental de la Tierra, el punto y la manzana entonces ya sabes qué es el campo gravitatorio.
\nUn cuerpo de masa $M$, por el simple hecho de tener masa, modifica de alguna manera el espacio a su alrededor (en nuestro experimento mental, el cuerpo es la Tierra). En concreto, la presencia de la masa $M$ ha provocado un cambio en el punto $P$; dicho de otra manera, ciertas propiedades del punto son distintas respecto a cuando no estaba la masa. Estas nuevas características que adquiere el punto $P$ debido a la presencia de la masa $M$ constituyen lo que llamamos campo gravitatorio.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/masa-punto-2.svg\")
Lógicamente, el punto $P$ no es el único que se ve afectado por la masa $M$. El campo gravitatorio creado por la masa $M$ existirá en cualquier otro punto del espacio:
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/masa-puntos.svg\")
Podemos entonces expresar el concepto de campo gravitatorio de la siguiente manera: el campo gravitatorio es la perturbación que produce un cuerpo a su alrededor por el hecho de tener masa.
\nYa tenemos más o menos claro qué es el campo gravitatorio. Pero en Física, además de describir y explicar las cosas, nos gusta medirlas. La pregunta que surge entonces es la siguiente: ¿cómo se mide el campo gravitatorio?
\nPara poder medir el campo gravitatorio, es decir, para poder determinar si la perturbación que produce una masa en un punto es grande o pequeña, necesitamos “sentir” esa perturbación. Recordando nuestro experimento mental, habíamos colocado una manzana en el punto donde queríamos “ver” cómo la Tierra afectaba al punto. Pues venga, coloquemos un cuerpo de masa $m$, que llamamos masa “de prueba” (la manzana), en el punto $P$.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/masadeprueba.svg\")
La masa $m$ que colocamos en el punto $P$ se ve afectada por el campo gravitatorio de $M$, ¿verdad? Pero, ¿en qué consiste el efecto del campo gravitatorio sobre $m?$ Según concluimos en el experimento mental de la Tierra, el punto y la manzana, la masa $m$ (la manzana) se ve atraída hacia la masa $M$ (la Tierra) por la fuerza gravitatoria $\\vec{F}_{g}$ que $M$ ejerce sobre $m$:
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/masadeprueba-fuerza.svg\")
Es decir, el campo gravitatorio en un punto se manifiesta como una fuerza gravitatoria en el momento en que colocamos una masa en dicho punto. Por tanto, si sabemos cuánto vale la fuerza gravitatoria sobre $m$ (y lo sabemos, por la ley de gravitación universal) podemos tener una idea de lo intenso que es el efecto de $M$ en el punto $P$… aunque hay una pega muy grande. Si en vez de colocar una manzana en $P$ hubiésemos colocado un elefante, la fuerza gravitatoria habría sido diferente (recuerda que es directamente proporcional a la masa $m$). Y eso es un fastidio, porque lo que queremos cuantificar es el efecto de $M$ en $P$, que es únicamente un punto donde no hay ni manzanas ni elefantes. ¿Cómo lo solucionamos?
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/manzana-elefante-fuerzaOK.svg\")
\nRecopilemos los hechos que conocemos hasta ahora:
\n¿Qué podemos hacer entonces si para medir la magnitud del campo gravitatorio tenemos que colocar una masa en $P$ pero el resultado no puede depender de la masa que coloquemos? Fácil: colocamos la masa, medimos y la “quitamos” del resultado. ¿Cómo? Hallando la fuerza gravitatoria por unidad de masa. Veámoslo paso a paso.
\nLo primero que hacemos es colocar en $P$ una masa de prueba $m$ y calcular la fuerza gravitatoria $\\vec{F}_{g}$ con que $M$ atrae a $m$.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/masadeprueba-fuerza2.svg\")
A continuación dividimos esa fuerza gravitatoria entre el valor de m:
\n$$\\frac{\\vec{F}_{g}}{m}$$
\nEste cociente nos da la fuerza que se ejerce sobre la unidad de masa situada en $P$, que no depende de la masa de prueba que habíamos colocado. Es decir, si llamamos $\\vec{g}$ a dicho cociente, $\\vec{g}$ mide precisamente lo intenso que es el campo gravitatorio creado por la masa $M$ en el punto $P$. En consecuencia, a este valor se le llama intensidad de campo gravitatorio en $P$:
\n$$\\vec{g} =\\frac{\\vec{F}_{g}}{m}$$
\n¡Y listo! Esta es la manera de cuantificar el campo gravitatorio creado por una masa en un punto del espacio.
\nFalta un pequeño pero importante detalle: las unidades. En este caso son bastante obvias: si la fuerza se mide en newtons y la masa en kilogramos, la intensidad de campo gravitatorio se medirá en newton por kilogramo (N/kg). Pero espera... El newton es una unidad derivada. Recordando lo que sabemos de dinámica, un newton equivale a un kg·m/s2. Entonces N/kg es lo mismo que m/s2, lo que, recordando lo que sabemos de cinemática, es una unidad de aceleración. O sea, que la intensidad de campo gravitatorio tiene unidades de aceleración. ¿Sorprendente? No tanto, si te fijas en que hemos usado precisamente la letra $\\vec{g}$ para referirnos a ella.
\nAcabamos de ver cómo se define la intensidad del campo gravitatorio que crea una masa $M$ en un punto $P$. Pero, a efectos prácticos, ¿cómo es el valor de esta magnitud?
\nRecordemos que la intensidad de campo gravitatorio en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa situada en dicho punto:
\n$$\\vec{g} =\\frac{\\vec{F}_{g}}{m}$$
\nEsta expresión nos permite sacar una conclusión inmediata: $\\vec{g}$ es una magnitud vectorial. Y, como tal, para definirla necesitamos abordar los siguientes aspectos: punto de aplicación, módulo, dirección y sentido.
\nComo $\\vec{g}$ se define a partir de la fuerza gravitatoria sobre la masa de prueba $m$, que hemos situado en el punto $P$, consideraremos que el origen del vector $\\vec{g}$ es ese punto. Recuérdalo. El punto de aplicación del vector intensidad de campo gravitatorio es el punto $P$.
\nPara obtener el valor del módulo de $\\vec{g}$ necesitamos primero calcular la fuerza gravitatoria. Para ello debemos recurrir a la ley de gravitación universal: dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; a la constante de proporcionalidad la llamábamos $G$. Entonces, en módulo, esta fuerza la podemos expresar como:
\n$$F_{g} =G\\cdotp \\frac{\\ m_{1} \\cdotp m_{2}}{r^{2}}$$
\n($m_{1}$ y $m_{2}$ son las masas que se atraen, $G$ es la constante de gravitación universal y $r$ es la distancia entre ambas masas o, mejor dicho, la distancia entre los centros de ambas masas).
\nApliquemos esta expresión a nuestro problema. Tenemos una masa $M$ (la masa que crea el campo) y un punto $P$ (el punto donde queremos calcular el campo gravitatorio) situado a una distancia $r$ de ella. En dicho punto colocamos la masa de prueba $m$.
\nComo $g$ se obtiene dividiendo esta fuerza entre el valor de la masa de prueba $m$ situada en $P$, obtenemos la siguiente expresión:
\n$$g=\\frac{F_{g}}{m} =\\frac{G\\cdotp \\frac{\\ M\\cdotp m}{r^{2}}}{m}$$
\nEs decir, el módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por las masa $M$ en un punto situado a una distancia $r$ de su centro es:
\n$$g=G\\cdotp \\frac{M}{r^{2}}$$
\nVolvamos a la definición de $\\vec{g}$:
\n$$\\vec{g} =\\frac{\\vec{F}_{g}}{m}$$
\nEstamos dividiendo un vector, $\\vec{F}_{g}$, entre un escalar, $m$. Y, como sabes, el resultado de esta operación no cambia la dirección del vector. Por tanto, la dirección del campo gravitatorio es la misma que la dirección de la fuerza gravitatoria. Por tanto debemos recordar de nuevo la ley de gravitación universal, que nos dice que la fuerza gravitatoria tiene la dirección de la recta que une ambas masas. Conclusión: la dirección del vector $\\vec{g}$ es la de la recta que une la masa que crea el campo y el punto $P$ (que es donde estaría la masa $m$).
\nEl sentido del vector intensidad de campo gravitatorio también lo vamos a deducir de la ley de gravitación universal. Esta ley nos dice que la fuerza entre dos masa es siempre atractiva (por eso se le llama fuerza de atracción gravitatoria). Entonces, como $\\vec{g} =\\vec{F}_{g} /m$, y recordando de nuevo las operaciones con vectores, el sentido del vector $\\vec{g}$ será el mismo que el del vector $\\vec{F}_{g}$. ¿Sí? Bueno, en este caso sí, porque la masa tiene un valor positivo (ojo: si se multiplica un vector por un escalar negativo el sentido del vector cambia; recuerda esta observación cuando trabajemos con el campo eléctrico, donde las cargas pueden ser positivas o negativas). En conclusión, el sentido de $\\vec{g}$ va siempre desde el punto hacia la masa que crea el campo.
\nVamos a ponerlo todo junto. Tenemos una masa $M$ que crea un campo gravitatorio a su alrededor. Hay un punto $P$ que está situado a una distancia $r$ del centro de la masa. La intensidad del campo gravitatorio creado por $M$ en $P$, $\\vec{g}$, es un vector que tiene las siguientes características:
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/g-caracteristicas.svg\")
Un apunte sobre la masa $M$: se puede demostrar que si el cuerpo tiene simetría esférica el efecto de dicha masa es exactamente el mismo que si se tratase de una masa puntual situada en el centro de la esfera. Es decir, el cuerpo se comporta como si toda su masa estuviese concentrada en el centro. Este hecho, que facilita enormemente los cálculos y permite, por ejemplo, tratar los cuerpos del sistema solar como si fuesen masas puntuales, fue demostrado por el propio Newton en su famosísimo libro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, donde también enunció la ley de gravitación universal.
\nAntes de seguir adelante fíjate de nuevo en el módulo de la intensidad de campo gravitatorio creado por $M$ en un punto $P$ situado a una distancia $r$:
\n$$g=G\\cdotp \\frac{M}{r^{2}}$$
\nVamos a sacar unas cuantas conclusiones a partir de esta expresión:
\nHasta ahora hemos analizado cómo se ve afectado un punto del espacio por la presencia de una masa. Pero, ¿qué sucedería en ese punto si, en vez de una, hay dos, tres o cuatro masas (o las que sean)?
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/variasMasas.svg\")
Muy fácil. Como tantas veces en Física, recurrimos a los principios de independencia y superposición:
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/variasMasas-g.svg\")
Así de simple. Eso sí, recuerda que la intensidad de campo gravitatorio es una magnitud vectorial, por tanto cuando hablamos de “sumar” estamos hablamos de una suma vectorial.
\nUn último apunte sobre el campo gravitatorio. Según hemos visto, al colocar una masa en un punto del espacio en el que hay campo gravitatorio esa masa automáticamente se ve afectada por la fuerza gravitatoria. Es decir, el campo gravitatorio permite explicar la acción a distancia de la fuerza gravitatoria. ¿Y cómo se relaciona la intensidad del campo gravitatorio en un punto con la fuerza gravitatoria que siente una masa colocada en ese punto? Para contestar esta pregunta recurrimos de nuevo a la definición de campo gravitatorio:
\n$$\\vec{g} =\\frac{\\vec{F}_{g}}{m}$$
\nPor tanto, la fuerza gravitatoria $\\vec{F}_{g}$ que siente un cuerpo de masa $m$ situada en un punto donde hay una intensidad de campo gravitatorio $\\vec{g}$ es:
\n$$\\vec{F}_{g} =m\\cdotp \\vec{g}$$
\nSon dos visiones distintas del mismo fenómeno: en el punto $P$ la intensidad del campo gravitatorio es $\\vec{g}$; la masa $m$ situada en $P$ se ve sometida a una fuerza gravitatoria $\\vec{F}_{g}$.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/7/campo-fuerza.svg\")
Por otro lado, ¿recuerdas cómo llamamos a la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre los cuerpos situados en su superficie? Exactamente: peso. Utilizando lo que has visto hasta ahora puedes justificar fácilmente por qué el peso de un cuerpo lo calculábamos multiplicando su masa por la aceleración de la gravedad, $g$,
\n$$P=m\\cdot g$$
\ny por qué el valor de $g$ en la superficie terrestre es 9,8 m/s2.
\nPara finalizar recogemos, a modo de resumen, las principales ideas sobre el tema:
\nLa cinemática es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos. Esta disciplina describe cómo se mueven las cosas, es decir, analiza cómo cambia su posición con respecto al tiempo, pero no se preocupa de por qué empiezan a moverse o cuáles son las causas que hacen que se muevan de una manera o de otra. La cinemática da respuesta a preguntas como “¿Dónde está ahora el objeto?”, “¿Dónde estará dentro de 30 segundos?”, “¿Va en línea recta o está girando?”, “¿Lleva siempre la misma velocidad o su velocidad cambia?”, “¿Cuánto tardará en pararse?”, etc.
\nEn este artículo hemos reunido, a modo de glosario, los términos más importantes de este tema. Para una explicación más detallada de cada concepto puedes consultar el enlace Movimiento, donde también encontrarás ejemplos y numerosos ejercicios resueltos sobre el tema.
\nEl cuerpo cuyo movimiento vamos a estudiar es una masa puntual, es decir, consideramos que se comporta como una partícula que no tiene tamaño y que, por tanto, ocupa en cada instante un único punto del espacio.
\nUn sistema de referencia consiste en un punto y unos ejes de coordenadas que utilizamos para estudiar el movimiento.
\nNormalmente usamos como sistema de referencia los ejes cartesianos. Cada punto del espacio queda así perfectamente definido mediante su distancia al origen de coordenadas O(0,0,0) en cada una de las direcciones definidas por los ejes ortogonales OX, OY y OZ.
\nLa posición de una partícula en un instante es el punto del espacio en el que se encuentra la partícula en dicho instante.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/posicion.svg\")
Una partícula se mueve si, al pasar el tiempo, su posición cambia con respecto a un sistema de referencia que suponemos fijo.
\nEl instante inicial es el momento en que se empieza a estudiar el movimiento. Normalmente tomamos como instante inicial el instante $t_0=0 \\; s$.
\nLas ecuaciones paramétricas del movimiento:
\n$$
\\left.\\begin{array}{l}
x=x(t)\\\\
y=y(t)\\\\
z=z(t)
\\end{array}\\right\\}
$$
nos dan las coordenadas de la posición $(x,y,z)$ que ocupa la partícula en el espacio en cualquier instante $t$.
\nLa trayectoria es la curva determinada por todos los puntos que ocupa la partícula a lo largo del tiempo en su movimiento.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/trayectoria.svg\")
\nEl vector de posición de una partícula en el instante $t$ es el vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es el punto $(x,y,z)$ donde está situada la partícula en dicho instante.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/vectorPosicion.svg\")
El vector de posición de una partícula en función del tiempo es:
\n$$\\vec r(t)=x(t)\\vec i+y(t)\\vec j+z(t)\\vec k$$
\ndonde las coordenadas $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ vienen dadas por las ecuaciones paramétricas del movimiento.
\nEl desplazamiento de una partícula entre dos instantes es el vector que va desde la posición de la partícula en el instante inicial hasta su posición en el instante final.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/desplazamiento.svg\")
Si la posición inicial está determinada por el vector de posición $\\vec r_1$ y la posición final está determinada por el vector de posición $\\vec r_2$ , entonces el vector desplazamiento es:
\n$$\\Delta \\vec r=\\vec r_2-\\vec r_1$$
\nEl espacio recorrido por la partícula entre dos instantes es la distancia que recorre la partícula entre esos dos instantes medida sobre la trayectoria.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/espacio.svg\")
La celeridad o rapidez media se obtiene dividiendo el espacio recorrido por la partícula (medido sobre la trayectoria) entre el tiempo empleado en recorrerlo.
\n$$c=\\frac{s}{t}$$
\nLa velocidad media entre los instantes $t_1$ y $t_2$ se calcula dividiendo el desplazamiento realizado por la partícula en esos instantes entre el tiempo empleado en dicho desplazamiento:
\n$$\\vec v_m=\\frac{\\Delta \\vec r}{\\Delta t}=\\frac{\\vec r_2-\\vec r_1}{t_2-t_1}$$
\nLa velocidad instantánea en el instante t es el límite de la velocidad media de la partícula entre los instantes $t$ y $t+\\Delta t$ cuando $\\Delta t$ tiende a cero:
\n$$\\vec v(t)=\\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\vec v_m=\\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta \\vec r}{\\Delta t}=\\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{\\vec r(t+\\Delta t)-\\vec r(t)}{\\Delta t}$$
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/velocidadInst.svg\")
La velocidad instantánea se calcula derivando el vector de posición con respecto al tiempo:
\n$$\\vec v=\\frac{d\\vec r}{dt}=\\frac{dx}{dt}\\vec i + \\frac{dy}{dt}\\vec j + \\frac{dz}{dt}\\vec k=v_x\\vec i+v_y\\vec j+v_z\\vec k$$
\nEl vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto y está orientado en el sentido del movimiento de la partícula.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/velocidadInst-tang.svg\")
El vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto se obtiene dividiendo el vector velocidad entre su módulo:
\n$$\\vec u_t=\\frac {\\vec v}{|\\vec v|}$$
\nEl vector $\\vec u_t$ tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad instantánea. Por tanto es tangente a la trayectoria en cada punto y está orientado en el sentido del movimiento de la partícula.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/velocidadInst-ut.svg\")
El vector velocidad $\\vec v$ se puede escribir como el producto de su módulo, $|\\vec v|$, por un vector unitario de su misma dirección y sentido, $\\vec u_t$:
\n$$\\vec v=|\\vec v| \\cdot \\vec u_t$$
\nLa aceleración media entre dos instantes $t_1$ y $t_2$ se calcula dividiendo la variación de la velocidad de la partícula en ambos instantes entre el tiempo empleado en dicha variación:
\n$$\\vec a_m= \\frac {\\Delta \\vec v}{\\Delta t}=\\frac{\\vec v_2-\\vec v_1}{t_2-t_1}$$
\nLa aceleración instantánea en el instante $t$ es el límite de la aceleración media de la partícula entre los instantes $t$ y $t+\\Delta t$ cuando $\\Delta t$ tiende a cero:
\n$$\\vec a(t)= \\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\vec a_m= \\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta \\vec v}{\\Delta t}=\\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\frac{\\vec v(t+\\Delta t)-\\vec v(t)}{\\Delta t}$$
\nLa aceleración instantánea se calcula derivando el vector velocidad con respecto al tiempo:
\n$$\\vec a=\\frac{d\\vec v}{dt}=\\frac{dv_x}{dt}\\vec i + \\frac{dv_y}{dt}\\vec j + \\frac{dv_z}{dt}\\vec k=a_x\\vec i+a_y\\vec j+a_z\\vec k$$
\nLos vectores aceleración tangencial $\\vec a_t$ y aceleración normal $\\vec a_n$ son las componentes intrínsecas de la aceleración.
\nLa aceleración se puede expresar como la suma de sus componentes intrínsecas:
\n$$\\vec a=\\vec a_t+\\vec a_n$$
\nLas componentes intrínsecas de la aceleración son perpendiculares entre sí.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/aceleracion-atotal.svg\")
Los módulos de $\\vec a$, $\\vec a_t$ y $\\vec a_n$ verifican:
\n$$a^2=a_t^2+a_n^2$$
\nSi la aceleración $\\vec a$ de la partícula es cero, entonces necesariamente tanto la componente tangencial como la normal son cero:
\n$$\\vec a=\\vec 0 \\Rightarrow
\\left\\{\\begin{matrix}
\\vec a_t=\\vec 0\\\\
\\vec a_n=\\vec 0
\\end{matrix}\\right.$$
La aceleración tangencial indica cómo varía la velocidad en módulo.
\nSu valor en cada punto es el producto de la derivada del módulo de la velocidad por el vector $\\vec u_t$ en dicho punto: $\\vec a_t= \\frac {d|\\vec v|}{dt}\\vec u_t$.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/aceleracion-compIntrinsecas-at.svg\")
La aceleración tangencial es tangente a la trayectoria en cada punto. Su sentido es el mismo que $\\vec v$ si la velocidad aumenta, y opuesto a $\\vec v$ si la velocidad disminuye.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/aceleracion-at.svg\")
![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/clasificacionMov-at.svg\")
La aceleración normal o centrípeta indica cómo varía la dirección de la velocidad.
\nSe calcula restando el vector aceleración (total) menos el vector aceleración tangencial en cada punto:
\n$$\\vec a_n=\\vec a - \\vec a_t$$
\nEl módulo de la aceleración normal en cada punto es $a_n=\\frac {v^2}{R}$, donde $v$ es el módulo de la velocidad de la partícula en el punto considerado y $R$ es el radio de curvatura de la trayectoria en dicho punto.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/aceleracion-compIntrinsecas-an-modulo.svg\")
Su dirección es perpendicular a la velocidad. Está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria en cada punto.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/aceleracion-an.svg\")
![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/6/clasificacionMov-an.svg\")
Piensa en un animal cazando a otro para alimentarse. ¿Qué característica dirías que lo hace un buen depredador? Podríamos pensar en la velocidad; un buen ejemplo sería un guepardo persiguiendo a una gacela a 115 km/h. Pero la velocidad no es lo único que hace que un depredador sea letal para su presa. La hidra, un primitivo animal del filo Cnidaria —el mismo al que pertenecen medusas y pólipos—, posee unas células urticantes con las que lanza sobre sus presas un aguijón que les inyecta neurotoxinas paralizantes. Usando cámaras electrónicas de velocidad ultrarrápida se ha calculado que la punta de uno de estos aguijones puede alcanzar los 37 m/s —algo más de 130 km/h— y así es capaz de atravesar la cutícula de los crustáceos de los que se alimenta la hidra. Lo asombroso de este disparo no es la velocidad del aguijón, sino el tiempo que le lleva alcanzarla: 700 nanosegundos. Teniendo en cuenta que el nanosegundo es la milmillonésima parte del segundo, a su lado el guepardo, que necesita tres segundos para llegar a su velocidad máxima, parece ahora un animal lento.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/5/hydra-2.jpg\")
\nEste ejemplo de supervivencia animal ilustra la importancia de la magnitud cinemática que vamos a analizar: la aceleración. Como probablemente sabes, la aceleración mide la relación que hay entre cuánto cambia la velocidad y el tiempo que lleva este cambio. Dicho de otro modo, cuanto más rápido cambie la velocidad de un objeto mayor será su aceleración, y a la inversa. Es decir, si el cuerpo pasa de una velocidad $v_i$ a una velocidad $v_f$ y este cambio le lleva un tiempo $t$, entonces podemos calcular cuánto ha sido su aceleración media sin más que dividir el cambio en la velocidad $v_f-v_i$ entre el tiempo $t$:
\n$$a_m=\\frac{v_f-v_i}{t}$$
\nPor ejemplo, según hemos leído en la introducción, el guepardo pasa de estar quieto a alcanzar una velocidad de 115 km/h en 3 segundos. Entonces su aceleración es:
\n$$
\\left.\\begin{array}{l}
v_i = 0 \\; m/s\\\\
v_f = 115 \\; km/h = 31,9 \\; m/s\\\\
t=3 \\; s
\\end{array}\\right\\}
\\Rightarrow a_{guepardo}=\\frac{v_f-v_i}{t}=10,6 \\; m/s^2
$$
Para que podamos hacernos una idea esta aceleración es prácticamente la misma que la de un Porsche 918 Spyder, que es capaz de pasar de 0 a 100 km/h en 2,6 s. Impresionante, ¿no?
\nEn el caso de la hidra, su aguijón pasa de 0 a 37 m/s en 700 ns. Aunque la velocidad alcanzada es del mismo orden de magnitud que la del guepardo, el tiempo empleado es infinitamente menor. En consecuencia, sin necesidad de hacer ningún cálculo vemos que la aceleración alcanzada por el aguijón de la hidra es muchísimo mayor que la que puede desarrollar el guepardo cuando persigue a su presa. Aún así, vamos a ver qué nos dicen los números.
\n$$
\\left.\\begin{array}{l}
v_i = 0 \\; m/s\\\\
v_f = 37 \\; m/s\\\\
t=700 \\; ns = 7 \\cdot 10^{-7} \\; s
\\end{array}\\right\\}
\\Rightarrow a_{hidra}=\\frac{v_f-v_i}{t}=5,3 \\cdot 10^{7} \\; m/s^2
$$
¡Este resultado bien se merece el título de “superaceleración”!
\nPara terminar vamos a comparar ambas aceleraciones; para ello debemos dividir una entre la otra:
\n$$
\\frac{a_{hidra}}{a_{guepardo}}=5\\,000\\,000
$$
El resultado es asombroso: la aceleración del aguijón de la hidra es cinco millones de veces mayor que la del guepardo. Si quieres saber más sobre “superaceleración” en el mundo animal, lee el artículo “How some animals accelerate faster than all others”.
Vivimos rodeados de sensores: puertas que se abren automáticamente ante nosotros, farolas que se encienden cuando hay poca luz, pantallas táctiles que responden a los movimientos de nuestros dedos, estaciones que nos informan de la calidad del aire que respiramos… ¿Alguna vez te has preguntado cómo detecta la puerta nuestra presencia o cómo se ha enterado la farola de que es de noche?
\nTodos los ejemplos anteriores funcionan básicamente de la misma manera. Un sensor detecta el valor de una propiedad del mundo físico (movimiento, luz, temperatura, concentración de un gas…) y lo transforma en señales eléctricas. Estas señales son enviadas a un microcontrolador que las procesa y manda las órdenes pertinentes a los actuadores (el motor que hace que se abra la puerta, la bombilla de la farola, la pantalla que muestra el valor de la concentración de partículas en suspensión en el aire...) para que actúen de la manera programada. Este ciclo sensor-microcontrolador-actuador se repite una y otra vez, de manera que la respuesta se adapta siempre al estímulo recibido por el sensor.
\nUn microcontrolador no es otra cosa que un ordenador en miniatura que ejecuta el programa que tiene cargado en memoria. Para comunicarse con el exterior disponen de pines de entrada, que se conectan a los sensores para detectar el mundo físico, y pines de salida, que se conectan a los actuadores para obtener el resultado programado. Normalmente los microcontroladores utilizados en aplicaciones didácticas están montados en una placa controladora que incluye otros componentes, como los circuitos de alimentación, comunicación o protección. Un ejemplo de placa controladora es la placa Arduino:
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/4/arduinoUNO.png\")
\nExiste una gran variedad de sensores de bajo coste que se pueden utilizar de manera más o menos sencilla con Arduino. Con ellos se pueden medir magnitudes como temperatura, humedad, radiación infrarroja, campo magnético… Su precio, al igual que el de la placa, es generalmente muy económico.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/4/sensoresTODO.png\")
\nLos sensores se pueden utilizar en clase de Física para comprobar experimentalmente distintos conceptos teóricos: ¿es cierto que la temperatura de un líquido afecta al proceso de evaporación?; ¿qué sucede con el campo magnético generado por una bobina cuando se varía la intensidad de corriente que circula por ella?; ¿cómo se refleja la radiación electromagnética en una superficie metálica?
\nLos sensores son muy útiles también para tomar medidas en las prácticas de laboratorio. Imagina que quieres obtener la curva de calentamiento del agua. Una ventaja de usar un sensor de temperatura es que puedes copiar directamente en una hoja de cálculo los datos medidos por el sensor para su posterior análisis. Además puedes tomar una gran cantidad de medidas sin apenas esfuerzo (no sería muy práctico utilizar un termómetro y un cronómetro si necesitases tomar medidas de la temperatura cada medio segundo, ¿verdad?).
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/4/curvaAgua.PNG\")
\nEl “problema” que presenta el uso de los sensores es que su uso no es inmediato: hay que montar los circuitos de conexión del sensor y hay que programar el comportamiento del microcontrolador antes de poder usarlo. Lejos de ser un problema esto nos brinda una excelente oportunidad para ser creadores, y no únicamente consumidores, de tecnología.
\nAsí, además de profundizar en los objetivos curriculares de la asignatura de Física diseñarás y montarás circuitos electrónicos sencillos y aprenderás un lenguaje de programación (recuerda: programar es una actividad fundamental en el trabajo científico). Por si esto fuera poco esta actividad también te ayudará a desarrollar otras habilidades fundamentales en multitud de ámbitos: planificar el trabajo de manera organizada y eficiente, analizar críticamente el trabajo realizado para introducir mejoras, seleccionar fuentes de información fiables en internet, identificar y resolver problemas...
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/4/ds18b20_minibreadboard.svg\")
\nSi te han convencido los beneficios que ofrece el uso de los sensores el primer paso es escoger un sensor para aprender a utilizar la placa Arduino. Y la mejor forma de hacerlo es desarrollando un proyecto concreto. En posteriores entradas del blog analizaremos con detalle cómo funcionan diversos sensores, cómo se conectan, cómo se programan y qué se puede hacer con ellos.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/4/calor-color-peq.jpg\")
\nImagina el siguiente escenario: tienes que resolver los problemas de Física del curso sin la ayuda de una calculadora. Mejor no imaginarlo, ¿verdad? La calculadora es una maravillosa herramienta que hace por nosotros el “trabajo sucio” (los cálculos) para que podamos centrarnos en lo realmente importante de los problemas.
\nAhora imagina un escenario totalmente opuesto: tienes una calculadora que te permite hacer cualquier operación o cálculo matemático que quieras, como hallar la solución de una ecuación que, a mano, es prácticamente imposibles de resolver; representar una función cuyo estudio te llevaría demasiado tiempo; hallar derivadas e integrales en un abrir y cerrar de ojos… Además, la puedes programar para evitarte repetir los mismos cálculos una y otra vez. Es como tener la navaja suiza de las herramientas matemáticas en clase de Física: multiuso y se adapta a cualquier situación. ¿Demasiado bonito para ser cierto? Pues esa herramienta existe, es gratuita y de código abierto, y solo necesitas un dispositivo (ordenador, tablet o móvil) con conexión a internet para utilizarla.
\nLa herramienta de la que hablamos se llama SageMath. SageMath es un software matemático gratuito y de código abierto, desarrollado para la enseñanza y la investigación en Matemáticas, que ofrece una enorme variedad de herramientas de gran utilidad en Física: operaciones con números reales y complejos, cálculos simbólicos (en los que se opera con letras en lugar de números), álgebra lineal (resolución de ecuaciones y sistemas, vectores, matrices, determinantes), cálculo (límites, derivadas, integrales definidas e indefinidas), representación de funciones y curvas en dos y tres dimensiones, etc.
\nPor si esto fuera poco, Sage es al mismo tiempo un lenguaje de programación con el que se pueden escribir pequeños (o grandes) programas para utilizar las herramientas de SageMath en la resolución de innumerables problemas. Programar es una habilidad absolutamente fundamental en el trabajo científico, así que si no tienes conocimientos previos de programación Sage es una buena introducción a otros lenguajes y te facilitará su aprendizaje. Además, está basado en Python, con lo que su sintaxis es muy similar; por tanto aprender Sage hace que simultáneamente aprendas Python, y si ya conoces Python te resultará muy fácil manejarte con soltura en Sage.
\nHay diferentes maneras de acceder a las herramientas de SageMath. Una de ellas es utilizar las celdas Sage como la que puedes ver aquí abajo. Tecleas las instrucciones en la celda, pulsas el botón “Evaluar” y ¡listo!
\nplot(x^3)\n\n
\n
Puedes también acceder a una SageMathCell a través de la interfaz web de SageMathCell y también puedes utilizar los recursos computacionales que proporciona CoCalc. Por último, en el caso de que tengas problemas de conexión, puedes descargar el software en SageMath para trabajar de manera local.
\nUn aviso importante: si estás usando una SageMathCell (que será lo más habitual), al refrescar la página todo lo que hayas escrito en la celda se borrará. Al principio esto no supondrá ningún problema, pero imagina que has escrito veinte líneas y se te borran accidentalmente. Acostúmbrate entonces a hacer una copia de lo que introduzcas en la celda si quieres conservarlo (cópialo, por ejemplo, en un documento de texto). Y, en el caso de que uses SageMath con asiduidad, es altamente recomendable que te registres en CoCalc (es gratis) para guardar allí tus programas.
\nPara ver cómo funciona SageMath vamos a empezar usándolo en “modo calculadora”. Escribe una operación en la celda y pulsa el botón “Evaluar” (o Mayúsculas+Intro); el resultado aparecerá debajo.
\n\n
\n
Un detalle importante a tener en cuenta cuando uses Sage como una calculadora es que si escribes varias operaciones en distintas líneas solo se mostrará el resultado de la última. Prueba por separado las siguientes operaciones y expresiones para ver las particularidades de SageMath:
\n| Operación / Expresión | \nEjemplo | \nCódigo | \n
| Operación con números racionales | \n$$ \\frac14+3$$ | \n1/4 + 3 | \n
| Operación con números reales | \n$$\\frac14+3$$ | \n1/4 + 3.0 | \n
| Notación científica | \n$$2\\cdot10^5+7·10^{-6}$$ | \n2e5+7e-6 | \n
| Potencia | \n$$\\left( \\frac35 \\right)^6$$ | \n(3/5)^6 | \n
| Igual | \n$$2=3$$ | \n2 == 3 | \n
| Distinto | \n$$4\\neq5$$ | \n4 != 5 | \n
| Menor | \n$$5<3$$ | \n5 < 3 | \n
| Menor o igual | \n$$3\\leq3$$ | \n3 <= 3 | \n
| Raíz cuadrada | \n$$\\sqrt{-9}$$ | \nsqrt(-9) | \n
| Valor absoluto | \n$$|-10|$$ | \nabs(-10) | \n
| Función exponencial en base e | \n$$e^2$$ | \nexp(2) | \n
| Logaritmo neperiano | \n$$\\ln{e^2}$$ | \nlog(e^2) | \n
| Logaritmo en base 10 | \n$$\\log{10000}$$ | \nlog(10000,10) | \n
| Seno | \n$$\\sin{\\frac{\\pi}{3}}$$ | \nsin(pi/3) | \n
| Tangente | \n$$\\tan{\\frac{\\pi}{2}}$$ | \ntan(pi/2) | \n
| Arco coseno | \n$$\\arccos0$$ | \narccos(0) | \n
| Aproximación numérica | \n$$\\pi$$ | \nn(pi, digits=100) | \n
Habrás visto ya algún detalle “curioso” de la manera en que Sage trabaja. Por ejemplo, siempre que puede te da el resultado de la manera más exacta posible, sin hacer aproximaciones. Además la rapidez de cálculo y el número de cifras con los que puede trabajar son asombrosos: ¿has probado, por ejemplo, a obtener los 100000 primeros dígitos de pi?
Usar Sage como una calculadora no es más que una ínfima parte de lo que se puede hacer con él. En posteriores entradas del blog mostraremos cómo usarlo para representar gráficamente funciones, resolver ecuaciones y sistemas, calcular derivadas e integrales, etc. También veremos ejemplos de su uso en la resolución computacional de problemas, es decir, lo utilizaremos para escribir programas que, a partir de unos datos y una serie de instrucciones, hagan los cálculos necesarios para obtener la solución de los problemas planteados. Como ves SageMath tiene el potencial de convertirse en una utilísima herramienta que no solo te facilitará el trabajo en clase de Física, sino que también lo enriquecerá.
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\nLa historia de cómo el hombre llegó a desentrañar el misterio del movimiento de los astros en el universo comienza en la Antigua Grecia. El primer intento de encontrar una teoría que explicase la estructura del cosmos surge en el siglo VI a.C. de la mano de Anaximandro de Mileto (611-546 a.C.). Es suya una teoría geocéntrica que supone una Tierra plana y con forma circular suspendida en medio de todos los cuerpos celestes, que no son otra cosa que huecos dentro de una esfera de fuego que rodea la Tierra. Aparte de sus aportaciones cosmológicas, Anaximandro y sus contemporáneos desempeñaron un papel fundamental en el nacimiento de la ciencia. Utilizando la razón y las matemáticas buscaron la estructura y la causa de los movimientos celestes, es decir, procuraron desentrañar la realidad utilizando métodos verificables y no recurriendo a los mitos o la religión, como hasta entonces se había hecho. Esta reducción del caos aparente a un orden matemático sentó las bases para la aparición del conocimiento científico.
\nDos siglos más tarde, Aristóteles (384-322 a.C.) reafirma y amplía el modelo geocéntrico y establece unas ideas sobre el universo que perdurarán como dogmas inamovibles durante casi dos milenios: en el centro del cosmos se encuentra la Tierra, morada del cambio y la corrupción. Los cielos, sin embargo, son el inmutable reino de la perfección, donde los objetos se mueven describiendo círculos, la forma perfecta.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/2/Sacrobosco-1537-B4v.jpg\")
\nSe trata pues de un universo dividido en dos partes diferenciadas: la región sublunar –hecha de tierra, agua, aire y fuego– y los cielos –hechos de éter o quintaesencia–. Su distinta condición provoca que en ambas regiones las leyes de la naturaleza sean distintas. Los cielos se organizan en esferas concéntricas que giran en torno a la Tierra y contienen los cuerpos celestes. El \"Primer Motor Inmóvil\", origen de todo movimiento, hace girar la esfera de las estrellas fijas, que es la más exterior, y este movimiento se transmite de esfera en esfera provocando la rotación, con velocidad constante, de todos los cuerpos celestes. Por otro lado, la propia naturaleza de los objetos terrestres es la causa de su movimiento hacia el elemento que predomina en ellos, por eso las piedras caen hacia la Tierra.
\nEl siglo III a.C. ve florecer a un pensador que desafía el saber establecido y propone el primer modelo de un universo heliocéntrico. Aristarco de Samos (310-230 a.C.) imagina un cosmos con el Sol inmóvil en su centro, alrededor del cual giran la Tierra y la esfera de las estrellas fijas. Pero este modelo no logra imponerse, no solo por ser totalmente contrario al sentido común, sino también por motivos filosóficos y físicos. Por su papel predominante respecto a los demás cuerpos celestes, la Tierra tendría que ser el centro del Universo. Además, ¿cómo podría una piedra lanzada hacia arriba volver a caer a nuestros pies si la Tierra estuviese rotando? ¿Y por qué no se siente el viento debido a su supuesto movimiento de traslación?
\nAunque las enseñanzas de Aristóteles seguían teniendo plena vigencia, la velocidad constante de las esferas celestes pronto evidencia un grave problema: no permite explicar el movimiento retrógrado observado en los cinco planetas entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) ni los cambios en su luminosidad. Para justificar estos dos fenómenos celestes Claudio Ptolomeo (85-165) concibe, ya en el siglo II de nuestra era, un artificioso mecanismo a base de círculos dentro de círculos. En su visión del universo los planetas, en vez de estar directamente unidos a las esferas, describen círculos dentro de las esferas. Ptolomeo presenta sus descubrimientos en un libro titulado Mathēmatikē syntaxis (Tratado matemático) o, según su posterior traducción al árabe, al-Majisti o Almagesto (El más grande).
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/2/almagestoPag1.jpg\")
\nEl Almagesto apuntala dos pilares de la cosmología que seguirán vigentes hasta bien entrado el siglo XVII: todo gira en torno a la Tierra y todos los objetos celestes se mueven con movimiento circular a velocidad constante. Las traducciones al latín de este extenso tratado astronómico ejercieron una enorme influencia en la Europa medieval; no en vano, comparte con los Elementos de Euclides el honor de haber sido el libro científico en uso durante más tiempo.
\nLa Antigua Grecia, cuna de la ciencia y escenario en el que alcanzó niveles sublimes, ve caer el saber científico en un paulatino abandono como consecuencia de su conquista por los romanos, más interesados en las habilidades militares que en las intelectuales. En Occidente el declive de la ciencia desembocará en la Edad Media en una larga época de oscuridad de la que no se recuperará hasta la llegada del Renacimiento. De hecho, desde el año 150 –cuando el Almagesto de Ptolomeo fue publicado–, y durante casi mil cuatrocientos años, nada cambió en el universo. El conocimiento científico en la Europa medieval continuó regido por el estudio de los clásicos, lo que en astronomía quería decir mantenerse fiel a las directrices marcadas por Aristóteles y Ptolomeo.
\nA principios del siglo XVI empieza a hacerse la luz en el mundo científico. Las expediciones españolas y portuguesas al nuevo mundo vienen acompañadas de un resurgir de la astronomía, ya que los navegantes requerían de mediciones astronómicas precisas para orientarse en el largo viaje. Así mismo, los desajustes cada vez mayores entre el calendario y los eventos celestes (tales como equinoccios o solsticios) hacían necesario actualizar las tablas astronómicas existentes. En este clima de renacimiento de la astronomía vivió Nicolás Copérnico (1473-1543). En 1543, año de su muerte, se imprime en Núremberg su obra De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), en la que expone las bases matemáticas y las pruebas experimentales que justifican el modelo heliocéntrico. El Sol está ahora inmóvil cerca del centro del universo, y la Tierra y los planetas giran a su alrededor. El movimiento retrógrado de los planetas queda finalmente explicado de una manera sencilla, y el orden de los planetas, que Ptolomeo había dispuesto como una convención, queda definitivamente establecido. No logra, sin embargo, librarse de los movimientos circulares de la tradición aristoteliana, por lo que, al igual que Ptolomeo, tiene que recurrir al uso de círculos dentro de las órbitas.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/2/De_Revolutionibus_manuscript_p9b.jpg\")
\nLa nueva teoría heliocéntrica, aunque presentaba innegables ventajas con respecto a las teorías anteriores, no fue bien recibida por la comunidad científica de la época, y menos aún por las autoridades religiosas, que la consideraron contraria a las Sagradas Escrituras.
\nEl método de trabajo de Copérnico ilustra la nueva manera de estudiar los fenómenos científicos que desembocaría en el nacimiento de la ciencia moderna. Su discípulo Rheticus (sin cuyo impulso y apoyo De revolutionibus nunca habría sido publicado) lo describe de la siguiente manera:
\n\n\n“Comparando los datos experimentales de Ptolomeo con sus propias observaciones, mi maestro obtiene pruebas de que la teoría geocéntrica debe ser rechazada. Basándose en estudios geométricos establece una nueva hipótesis: la de que los planetas, incluida la Tierra, son los que giran alrededor del Sol. Posteriormente confirma que las observaciones se ajustan a la nueva hipótesis y finalmente, como consecuencia, reescribe las leyes de la astronomía”.
\nAdaptado de De libris revolutionum Copernici narratio prima, más conocido como Narratio prima, escrito en 1540 por Georg Joachim Rheticus.
\n
La sustitución de la Tierra por el Sol como centro del universo, junto con el alegato a favor de la práctica anatómica como medio necesario para el conocimiento del cuerpo humano que Andreas Vesalio expone en su obra De humani corporis fabrica (La fábrica del cuerpo humano), publicada en Basilea el mismo año que De revolutionibus, señalan 1543 como el año de inicio de la revolución científica que sentaría las bases de la ciencia moderna.
\nLa prueba de la poca aceptación que tuvo la teoría cosmológica de Copérnico la ofrece el astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) con la publicación, en 1588, de De mundi aetherei recentioribus phaenomenis (Sobre los nuevos fenómenos del mundo etéreo). Cuarenta y cinco años después de la difusión de las ideas heliocéntricas de Copérnico, Brahe da marcha atrás y propone un modelo a medio camino entre el geocentrismo y el heliocentrismo. La Tierra vuelve a estar inmóvil en el centro del universo, con el Sol y la Luna orbitando a su alrededor, mientras que los planetas describen órbitas circulares alrededor del Sol. En una cristianización de las ideas de Aristóteles, Dios, con la ayuda de los ángeles, pone en movimiento la esfera de las estrellas, que a su vez mueve a los planetas.
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/2/41447_450TYCHO.jpg\")
\nAunque este modelo no tuvo mucho éxito, la contribución de Brahe al desarrollo definitivo de la teoría heliocéntrica sería decisiva, a pesar de que no contemplara que la Tierra orbitara como los demás planetas. Fue un astrónomo que, además de diseñar y fabricar nuevos instrumentos, revolucionó la observación astronómica (en vez de estudiar las posiciones de los astros en puntos importantes de sus órbitas, como hasta entonces era práctica habitual, él analizó las órbitas completas de los objetos celestes). Brahe nunca publicó en vida sus exhaustivas y cuidadosas observaciones, pero un joven ayudante suyo, dotado de inmenso talento matemático, pudo utilizarlas para llevar a cabo sus propios cálculos. El nombre de este ayudante era Johannes Kepler.
\nUtilizando los exactos y completos datos recabados durante años por Tycho Brahe y basándose en conceptos geométricos básicos, Johannes Kepler (1571-1630) analizó las posibles órbitas que concordaban con las observaciones experimentales. Sus conclusiones fueron rotundas: los planetas no describen círculos perfectos, sino que se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol. Además, su velocidad no es constante, sino que cambia continuamente. Kepler establece así un modelo sencillo y preciso para describir los movimientos planetarios. Su teoría se puede resumir en las tres famosas leyes que llevan su nombre; las dos primeras leyes fueron publicadas en 1609 en su obra Astronomia nova (Nueva astronomía), mientras que la tercera tuvo que esperar diez años para ver la luz en Harmonices mundi (La armonía de los mundos).
\n![\"\"](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/2/astronomianovaKEPLER162523-3.jpg\")
\nAunque Kepler intuía que la causa del movimiento de los objetos celestes tenía que tener su origen en el Sol, no alcanzó a comprender la naturaleza de esta influencia. Erróneamente supuso que el \"magnetismo\" del Sol activaba el poder magnético que cada planeta poseía y provocaba su movimiento.
\nNo es exagerado afirmar que el telescopio fue uno de los instrumentos más decisivos en la revolución científica. Gracias a él, la teoría heliocéntrica iba a recibir un respaldo definitivo de la mano del italiano Galileo Galilei (1564-1642). Matemático, astrónomo y filósofo natural, Galileo fue también un ingenioso y hábil constructor de instrumentos científicos. Según él mismo relata en su libro Sidereus nuncius (Un mensaje de los astros):
\n\n\n“Hace unos diez meses llegó a mis oídos que cierto flamenco había fabricado un aparato gracias al cual se veían más cercanos objetos que, por su lejanía, estaban ocultos a la vista. De este objeto realmente admirable circulaban comentarios a los cuales unos ofrecían credibilidad y otros lo negaban. (…) Esa fue la causa que me llevó a buscar las razones y a elegir los medios por los que se llega a la invención de un instrumento semejante, lo que finalmente conseguí poco después basándome en la doctrina de las refracciones.”
\nGalileo Galilei: Sidereus nuncius. Venecia, 1610.
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El telescopio que Galileo construyó en 1609 resultó ser muy superior al original holandés. Con una lente que alcanzaba los sesenta aumentos, le proporcionó una visión del universo completamente desconocida hasta entonces. Por primera vez observó las lunas de Júpiter, lo cual confirmaba que no todo gira en torno a la Tierra. También descubrió las fases de Venus, que encajaban perfectamente en las predicciones del modelo heliocéntrico. De esta forma había quedado definitivamente demostrada la superioridad del modelo heliocéntrico de Copérnico sobre el geocéntrico de Ptolomeo.
Otros muchos fenómenos, nunca antes observados, surgieron a los ojos de Galileo. La luna tenía valles y montañas, el Sol tenía manchas… ¡Los cuerpos celestes no eran tan perfectos como Aristóteles nos había hecho creer! La consecuencia era clara: la Tierra y los cuerpos celestes están hechos de la misma materia. Eliminando la distinción entre objetos terrestres y celestes, todos los objetos del universo podían ya compartir las mismas leyes de la naturaleza.
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\nGalileo dedicó también gran parte de su esfuerzo científico al estudio del movimiento. En el campo de la caída libre de los cuerpos rompió de nuevo con la teoría establecida. Según Aristóteles, la velocidad de caída era directamente proporcional al peso del objeto, pero Galileo demostró que en el vacío todos los cuerpos, independientemente de su peso o forma, caen con exactamente la misma aceleración, y que la distancia recorrida en su caída es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. Sin embargo, no estudió la naturaleza de las causas que producen los movimientos.
\nEn 1632 Galileo publica Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico, e Copernicano (Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo, ptolemaico y copernicano), una acalorada defensa de sus ideas heliocéntricas que fue la causa del tristemente conocido juicio en el que se vio obligado a renegar de sus ideas para salvar su vida y en el que se le condenó a arresto domiciliario de por vida.
\nAunque ni Kepler ni Galileo formularon nunca una teoría de la fuerza gravitatoria, la descripción del movimiento planetario por parte del primero y los trabajos del segundo en la caída de los cuerpos allanaron el camino para que Isaac Newton (1642-1727) lograse relacionar la causa de dos movimientos a los que hasta entonces se les había otorgado distinta naturaleza.
\nAnalizando el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y comparándolo con la caída de un objeto al suelo Newton dedujo que, en ambos casos, la fuerza que producía el movimiento era la misma. Esta fuerza, concluyó, es mayor cuanto mayor sea la masa de los cuerpos y disminuye con el cuadrado de la distancia entre ellos. La ley de gravitación universal, que rige la interacción entre todos los cuerpos con masa del universo, acababa de ver la luz. El gran avance de Newton en este campo no fue únicamente haber dado cuenta de la magnitud de la fuerza atractiva entre dos cuerpos con masa, sino que su mayor mérito radica en haber sido el primero en descubrir la universalidad de dicha fuerza.
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\nHabía algo, sin embargo, que no dejaba de preocuparle. ¿Cómo es posible que la influencia de la fuerza gravitatoria se manifieste instantáneamente y que pueda actuar a distancia, incluso a través del vacío, sin la mediación de ninguna otra cosa? Muchos científicos intentarían buscar el mecanismo que diese respuesta a esta pregunta, pero ninguno pudo encontrar una explicación satisfactoria. Sin embargo, como la ley de gravitación universal describía con exactitud los fenómenos observados, fue aceptada sin reservas.
\nA principios del siglo XX la teoría de Newton sobre la gravedad seguía teniendo plena y absoluta vigencia, pues concordaba con exactitud con las medidas experimentales. Recapitulando, esta teoría presupone una acción a distancia que se manifiesta instantáneamente. El Sol, por ejemplo, ejerce una fuerza gravitatoria sobre la Tierra cuya intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos astros. De acuerdo con esto, si el Sol se moviese la magnitud de la fuerza gravitatoria también cambiaría, y este cambio se sentiría instantáneamente en la Tierra. Es decir, la teoría de Newton se apoya en la noción de simultaneidad absoluta: el cambio en la posición del Sol –allí– y el efecto producido en la Tierra –aquí– tienen lugar al mismo tiempo.
\nParecía que todo funcionaba bien, pero las cosas van a empezar a complicarse. En 1905 la teoría de la relatividad especial altera profundamente las nociones tradicionales de espacio y tiempo. La simultaneidad absoluta es eliminada de la física y se convierte en un concepto relativo: dos fenómenos que tienen lugar al mismo tiempo para un observador pueden no ser simultáneos para otro. Como consecuencia, no quedaba más remedio que modificar la teoría de Newton para acomodarla a la teoría de la relatividad.
\nEn el año 1907 Albert Einstein (1879-1955) se pone manos a la obra. Pero lo que empezó como unos sencillos ajustes en la teoría newtoniana desembocó en un replanteamiento de la relatividad especial para que la gravitación tuviese cabida en ella. Tras más de siete años de agotador trabajo, y gracias en buena medida a la colaboración de David Hilbert –el matemático más brillante de la época, que le ayudó a formular las ecuaciones matemáticas del campo gravitatorio–, en noviembre de 1915 Einstein da por finalizada la teoría de la relatividad general.
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\nEn la versión newtoniana de la fuerza de la gravedad, la fuerza gravitatoria del Sol perturba la trayectoria inercial en la que tiende a moverse la Tierra (en línea recta con velocidad constante), lo que hace que se desvíe y termine describiendo una elipse. La teoría de la relatividad general justifica este movimiento utilizando un revolucionario planteamiento: el Sol no ejerce ninguna fuerza gravitatoria, lo que sucede es que su presencia curva el espacio-tiempo a su alrededor, de manera que la Tierra simplemente se mueve siguiendo la trayectoria inercial determinada por este espacio-tiempo curvado. Es decir, Einstein reemplaza el concepto de fuerza gravitatoria por el de movimiento en un espacio-tiempo curvado.
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\nLa superioridad de la nueva teoría sobre la newtoniana quedó posteriormente corroborada tras pasar la prueba definitiva: la confirmación experimental. En palabras del propio Einstein:
\n\n\n“La teoría de la gravitación derivada del postulado de la relatividad general destaca no sólo por su belleza (…), sino que también explica dos efectos astronómicos observados, de naturaleza bien distinta, ante los cuales falla la Mecánica clásica. El segundo de estos efectos, la curvatura de los rayos de luz en el campo gravitatorio del Sol (…); el primero concierne a la órbita del planeta Mercurio.”
\nAlbert Einstein: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie. Gemeinverständlich (La teoría de la relatividad especial y general, al alcance de todos). Braunschweig, 1917.
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¿Quiere esto decir que, después de más de doscientos años funcionando a la perfección, ya no es válida la ley de gravitación universal de Newton? En absoluto. Si se consideran campos gravitatorios débiles y masas que se mueven con velocidades pequeñas comparadas con la de la luz, entonces las ecuaciones de la teoría de la relatividad general se reducen a la teoría de Newton como primera aproximación. Pero otros fenómenos que no encuentran explicación posible en el marco de la teoría newtoniana sí quedan perfectamente justificados con las ecuaciones de la relatividad general. De este modo, la mecánica clásica queda ampliada por la relatividad general y se convierte en un caso particular de ella.
\nAsí acaba la historia de unos hombres extraordinarios que, liberándose de mitos y dioses, apoyándose en los conocimientos de sus predecesores para adoptarlos o refutarlos, y ayudándose de la razón, la experimentación y las matemáticas como único medio de llegar al conocimiento verdadero de las leyes de la naturaleza lograron desentrañar las reglas que rigen el inmenso mundo que se extiende sobre nuestras cabezas.
En 1632 Galileo Galilei publicó en Venecia Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico, e Copernicano (Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo, ptolemaico y copernicano), una acalorada defensa de la teoría heliocéntrica que fue la causa del tristemente conocido juicio en el que se vio obligado a renegar de sus ideas para salvar la vida. En un momento del diálogo, después de una prolija explicación, el erudito Salviati le dice al alumno Sagredo: “Ved como ahora es fácil de entender”, a lo que Sagredo contesta: “Así son todas las cosas verdaderas, una vez descubiertas; mas la cuestión está en saber descubrirlas”. Pues bien, el propósito de este blog es mostrar la ciencia como algo cercano, atractivo y comprensible para ayudar a los estudiantes a descubrir las “cosas verdaderas”. Presentaremos conceptos teóricos sobre diversos temas de Física, cuestiones y problemas para provocar la reflexión sobre estos conceptos, experimentos y ejemplos reales que muestran la utilidad y la vertiente práctica de los conocimientos teóricos, herramientas computacionales para facilitar los cálculos, reseñas históricas en las que se recrea el largo viaje recorrido por la ciencia desde la Antigüedad hasta nuestros días… En fin, la intención de este blog es que tanto alumnos como profesores puedan encontrar en él inspiración y motivación para la apasionante tarea que es enseñar y aprender Física.
\nEl telescopio, perfeccionado por Galileo a principios del siglo XVII, proporcionó una visión del universo completamente desconocida hasta entonces. Por primera vez vio Galileo las lunas de Júpiter y multitud de estrellas nunca antes observadas; descubrió las fases de Venus; observó las manchas solares, y desveló el verdadero aspecto de la superficie de la Luna, con sus valles y montañas.
\n![\"Júpiter](\"https://eltelescopiodegalileo.netlify.app/media/posts/1/lunasJupiter2.png\")
\nEn el breve tratado Sidereus Nuncius Galileo reflexiona sobre las maravillas que tal instrumento le permitió observar. En sus propias palabras:
\n\n\n“Grande es añadir a la numerosa multitud de estrellas que hasta hoy pudieron verse con la capacidad natural, otras innumerables estrellas fijas que hasta ahora nunca se vieron. Hermosísimo y agradabilísimo es ver el cuerpo lunar de modo que el diámetro de la propia Luna parezca casi treinta veces más grande. No obstante, lo que sobrepasa cumplidamente toda admiración es el hecho de que encontremos cuatro estrellas erráticas, que nadie conociera ni observara antes que nosotros, las cuales tienen sus propios periodos alrededor de Júpiter. Todas estas cosas fueron encontradas y observadas hace pocos días con la ayuda de un telescopio realizado por mí. Otras cosas, aún tal vez más importantes, encontraré yo, o encontrarán otros algún día, merced a un instrumento semejante.”
\nGalileo Galilei: \"Noticiero Sideral\". Edición Conmemorativa del IV Centenario de la publicación de \"Sidereus Nuncius\". Traducción del latín, a partir de la edición de Venecia 1610. MUNCYT-Museo Nacional de Ciencia y Tecnología. A Coruña y Madrid, 2010.
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Con “El telescopio de Galileo”, por tanto, hemos querido rendir un doble homenaje: al gran científico que hizo numerosísimas aportaciones revolucionarias a la ciencia, y al instrumento que apuntaló el comienzo de la revolución científica.